图 7-2 效果于六面体的外表应力 设效果于六面体的单位质量力在 x 轴上的重量为 fx， x 方向上效果于六面体的质量力 则 为ρfxdxdydz。依据牛顿第二规律有：

  这样，粘性流体各个方向的压应力能够为等于这个平均值加上一个附加压应力，即

  这些附加压应力能够为是因为粘性所引起的。 因为粘性的效果， 流体微团除了产生角变形外， 一起也产生线变形，即在流体微团的法线方向上有相对的线变形速度

  依据以上的剖析， 粘性流体中任一点的应力状况能够由一个压应力 p 和三个切应力τxy、 τyz、τzx 来表明。 7.1.4 纳维—斯托克斯方程 纳维— 将（7-4）式和（7-7）式代入以应力办法表明的粘性流体的运动微分方程（7-2）式，写 出 x 方向的方程式为

  第七章 粘性流体动力学根底 实践流体都具有粘性， 而在研讨粘性较小的流体的某些活动现象时， 可将有粘性的实践 流体近似地按无粘性的理想流体处理。例如，粘性小的流体在大雷诺数状况下，其流速和压 强散布等均与理想流体理论非常挨近。 但在研讨粘性小的流体的另一些问题时， 与实在的状况 不符， 如按照理想流体理论得到绕流物体的阻力为零。 产生矛盾的底子原因是未考虑实践流 体所具有的粘性对活动的影响。 本章， 首要树立具有粘性的实践流体运动微分方程， 并介绍该方程的在特定条件下的求 解。 因为固体鸿沟对流体与固体的彼此效果有重要的影响， 本章后边首要介绍鸿沟层的一些 根本概念、根底原理和根本的剖析办法。 纳维— §7.1 纳维—斯托克斯方程 7.1.1 粘性流体的应力 实践流体具有粘性，运动时会产生切应力，它的力学性质不同于理想流体，在效果面上 的外表应力既有压应力，也有切应力。 在流场中任取一点 M，过该点作一笔直于 z 轴的 水平面，如图 7-1 所示。过 M 点效果于水平面上的表 面应力 pn 在 x、y、z 轴上的重量为一个笔直于水平面 的压应力 pzz 和两个与水平面相切的切应力τzx、τzy。 压应力和切应力的下标中第一个字母表明效果面的法 线方向，第二个字母表明应力的效果方向。明显，通 过 M 点在三个彼此笔直的效果面上的外表应力共有九 个重量，其间三个是压应力 pxx、pyy、pzz，六个是切应 力τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy，将应力重量写 成矩阵办法：

  上式即为粘性流体切应力的遍及表达式，称为广义牛顿内摩擦规律。 粘性流体运动时存在切应力， 所以压应力的巨细与其效果面的方位有关， 三个彼此笔直 方向的压应力一般是不相等的，即 pxx≠pyy≠pzz。在实践问题中，同一点压应力的各向差异 并不很大，能够用平均值 p 作为该点的压应力，即

  §7.2 鸿沟层的根本概念 粘性流体的运动微分方程 （N—S 方程） 现在只要对最简略鸿沟条件下的少量问题才干 ， 求得准确解。 如关于小雷诺数状况，能够省略悉数惯性力项，得到简化的线性方程，求得 近似解。可是，在实践工程中，大多数是大雷诺数状况，求解很困难，所以有必要寻觅新的方 法。1904 年普朗特对此进行研讨，结合试验，提出了鸿沟层理论，对处理大雷诺活动问题 供给了求解办法。 粘性流体流经固体时，固体鸿沟上的流体质点粘附在固体外表鸿沟上，与鸿沟没有相 对运动，称为无滑移条件。在固体鸿沟的外法线方向上流速从零敏捷增大，在鸿沟邻近的流 区存在着相当大的速度梯度。 在这个流区内粘性效果不能疏忽， 鸿沟邻近的这个流区就称为 鸿沟层（或附面层） 。鸿沟层以外的流区，粘性的效果能够省略，可看作是理想流体。这样， 就将大雷诺数活动状况视为由两个性质不同的活动所组成：一是固体鸿沟邻近的鸿沟层流 动，粘性效果不能疏忽；另一个是鸿沟层以外的活动，按理想流体来处理。因而，鸿沟层外 的活动用前一章的势流理论来求解，而鸿沟层内的活动，以 N—S 方程为依据，依据问题的 物理特色，给予简化处理来求解。 经过一个典型的比如来看鸿沟层内的活动特征。 设在速度为 U0 的二维稳定均匀流场中， 放置一块与活动方向平行的厚度极薄润滑的平板，能够为平板不行能会引起活动的改动，如图 7-4 所示。现评论平板一侧的状况。因为平板不动，依据无滑移条件和粘性效果，与紧贴平 板的一层流体质点流速为零，沿平板外法线方向上流体速度敏捷增大至来流速度 U0。从平 板前缘开端构成的流速不均匀区域便是鸿沟层。

  用的是压力， p xx 应为正值。因而，压应力与线变形速度的联系式为：

  从而使压应力的巨细有所改动， 产生附加压应力。 在理论上能够证明， 关于不紧缩均质流体， 附加压应力与线变形速度之间联系相似（7-4）式。将切应力的广义牛顿内摩规律推广应用， 可得附加压应力等于流体的动力粘度与两倍的线变形速度的乘积，得

  式（7-2）便是以应力表明的粘性流体的运动微分方程。式中单位质量力的重量 fx、fy、fz 通 常是已知的，关于不行紧缩均质流体而言，密度ρ是常数，所以上式中包括 6 个应力重量和 3 个速度重量，共 9 个未知量。而（7-2）式中只要 3 个方程式，加上连续性微分方程也只 有 4 个方程式，无法求解，因而有必要找出其他的弥补联系式。这些联系式能够从对流体质点 的应力剖析中得到。 7.1.3 粘性流体应力与变形速度的联系 依据第一章评论过的牛顿内摩擦规律，切应力

  ∂u x 为正值时，流体微团产生伸长变形，周围流体对它效果的 ∂x ∂u x 为负值时，流体微团产生紧缩变形，周围流体对它作 ∂x

  上式即为不行紧缩均质粘性流体的运动微分方程，即纳维—斯托克斯方程，简称 N-S 方程。 假如流体是理想流体，上式则成为理想流体的运动微分方程；假如流体为停止流体，上式则 成为欧拉平衡微分方程。所以，N-S 方程是不行紧缩均质流体的遍及方程。 N-S 方程中未知量有 p、ux、uy、uz 四个，加上连续性方程共有四个方程式，从理论上 讲，任何不行紧缩均质流体的 N-S 方程，在必定的初始和鸿沟条件下，是能够求解的。但 是，N-S 方程是二阶非线性偏微分方程组，要进行求解是很困难的，只要在某些简略的或特 殊的状况下，才干求得准确解。现在一般都会选用数值核算办法使用核算机求解，得到近似解， 这部分内容可参看有关核算流体力学的教材或参考书。 N-S 方程的准确解，尽管为数不多，但能提醒粘性流体的一些本质特征，其间有些还有 重要的有用含义。 它可当作查验和校核其他近似办法的依据， 评论复杂问题和新的理论问 题的参照点和起点。下面介绍求解准确解的例题。 例 7-1 设粘性流体在两无限长的水平平板间作稳定层流活动，上板移动速度为 U1，下 板移动速度为 U2，如图 7-3 所示。已知两板距离为 2h，质量力可疏忽不计，试求两平板间 的速度散布。 解：由题意知，两平板间的活动特色如下：任一点处速 度 u 只要 x 轴方向重量，uy=uz=0；因为平板很大，速度与 坐标 x、z 无关，即 ux=ux(y)；别的，因为在 y、z 轴方向无 活动，压强 p 与 y、z 无关，p=p(x)。 流体的方程简化为

  九个应力重量中，因为τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz，粘性流体中恣意一点的应力重量只 有 6 个独立重量，即τxy、τyz、τzx、pxx、pyy、pzz。 7.1.2 应力办法的运动方程 在粘性流体的流场中，取一以点 M 为中心的微元直角六面体，其边长分别为 dx、dy、 dz。设 M 点的坐标为(x，y，z)，流体在 M 点处的速度重量为 ux、uy、uz，密度为ρ。依据 泰勒级数打开， 并省略级数中二阶以上的各项， 六面体各外表上中心点的应力如图 7-1 所示。 六面体很小，各外表上的应力可看作是均匀散布的，各外表力经过相应面的中心。先评论六 面体内流体在 x 轴方向受力和运动状况。 效果于六面体的力有质量力和外表力两种，x 方向上的外表力有：