这里c是比例常数， 根据连续方程，u方 向的脉动与v方向的 脉动的符号是相反的。

  因此，涡粘性系数为 2 du μ t = ρl ′ dy 这个修正的长度( l ′ )叫混合长度。以后 总是忽略撇号。 不同流动下的混合长度，是根据经验或 实验得出的。Prandtl认为： ◇圆管或者壁面附近： l

  [4]圆管湍流的结构——即湍流流动区域的划分 在层流流动中我们已知道，圆管中层 流流动的速度呈抛物型分布，速度梯度在管 道中心处很小而在壁面处最大。 对湍流流动来说，由于流体微团的横向 脉动基本上以管中心线为准占据了管道的绝 大部分区域，这部分区域称为湍流核心区。 在核心区，由于微团的横向脉动，致使管道 中心处的流速分布更加平坦，这样层流粘性 应力更加小，此时层流粘性应力远远小于微 团脉动所产生的附加应力，因此，可忽略 层流粘性应力。

  在核心区和粘性底层之间，有一个也很 薄的过渡区，在这层中，层流粘性应力和湍 流附加应力的量级是相当的，两者均不可省 略。 无论哪一层中，根据充分发展的湍流的 特点，有

  [5]光滑圆管内湍流的流动分析 即充分发展的圆管湍流。所谓完全发展 的湍流，是指管内湍流的平均速度呈现出充 分发展的层流特点。所谓光滑管，简单说即 没考虑粗糙度的影响。 圆管内湍流的速度分布： ●核心区： 核心区中，可忽略层流切应力。故 根据Prandtl的混合长理论，可得 u 1 = ln y B (对数律) u∗ κ 其中 u ∗ = τ w ρ , y = yu ∗ ν 称为摩擦速度和无 量纲离壁距离。

  涡粘性系数是一个假想的系数，取决 于流动状态。跟粘性系数相比，它不是一 个物性常数，不同的流动场合它是变化的， 而且在同一个流动中，其变化也很显著。

  [3]Prandtl混合长理论 基于下列假设，Prandtl提出了混合长理论： (1)流体微团在脉动过程中，在两次碰撞之间 走过一段平均的距离。此距离称为混合长。 在y-l层的微团脉动到y层时，其速度差即为 脉动速度。

  在管壁处一个很薄的区域内，由于速度 梯度很大，因此层流粘性应力很大，相反， 由于固体壁面的限制，紧靠壁面处流体微团 的脉动受到约束，因此湍流附加应力很小。 结果在这里湍流附加应力可忽略。这里的 薄层称为粘性底层。 粘性底层的厚度为

  这里λ是沿程损失系数。因此可见， 粘性底层通常很薄，大约只有几分之一毫 米。但是它对湍流流动的影响却是很大。 ——在沿程损失计算时更明显。

  [2] 层流与湍流的起因 ◎湍流产生的物理学 湍流的产生来自于层流流动的稳定性被 各种可能的扰动破坏。这种扰动包括速度、 压力的脉动；壁面粗糙度等。 当流动的Re数大时，流体质点所受的惯 性力远大于粘性力，这样用于维持分子间 的作用力不足以克服惯性力，因此扰动增长。 这种扰动增长慢慢的变大时，层流稳定性破坏， 流动状态发生转变。

  (2)流体微团在x方向上的脉动速度和y方向上 的脉动速度的量级是相同的。即 v′ ~ u′ 按照上面假设，首先把假设(1)按照Taylor展 开，得到：

  [2] Reynolds应力与Boussineq涡粘性假设 ◎Reynolds应力 粘性流体的层流流动中，各层流体间的 内摩擦引起了粘性应力，其大小可由牛顿切 应力公式计算。 在湍流流动中，除了流层的内摩擦引起 的层流应力外，还有附加应力。 由于脉动，当各流层中具有不一样速度的流 体质点因横向脉动进入其相邻的流体层时，就 在各流体层之间引起了动量交换，从而在流体 层之间产生了湍流附加应力，称为雷诺应力。 湍流中的总应力为层流应力加附加应力。

  ●圆管湍流的速度分布曲线分析。 把对数律中的y用半径R代入，即可求得 圆管湍流中的最大流速(因为粘性底层和过渡 区很薄，所以此处忽略它)。也可以积分得到 平均流速。 ●有时也采用所谓的指数规律来计算圆管内的 湍流流动速度。此时湍流流速为

  ◎Boussineq涡粘性假设 工程湍流的核心问题是关于如何封闭这 个附加应力。为了不增加问题的复杂性，不 引进额外的变量，Boussineq提出了著名的涡 粘性假设：

  [6]粗糙管内的流动与阻力系数 (1)粗糙度——管壁表面粗糙峰的平均高度称 为管壁的绝对粗糙度。把绝对粗糙度除以管 直径，称为管壁的相对粗糙度。 (2)根据粘性底层的厚度和管壁的绝对粗糙度 的相对大小，把管道分为(水力)光滑管和(水 力)粗糙管。 (3)由于粘性底层的厚度取决于雷诺数，因此， 从根本上来说，管道属于光滑管还是粗糙管， 取决于雷诺数和粗糙度。

  此处，湿周是指过流截面上被流体占 据的面积部分所对的周长。 非圆截面管的临界Re数 对于非圆截面，流动更容易转变为湍 流，因此其临界Re数更低。 管道的粗糙度越大，流动也更易转变 为湍流。

  [3] 流动损失的分类 ◎沿程损失 Darcy公式： L v2 hf = λ ⋅ ⋅ D 2g 这里的λ称为沿程损失系数，它与流体的 粘度、流速、流态、管径等等因素相关，它 是一个无量纲数。 ◎局部损失

  §5.3 管内湍流 [1]湍流的研究方法 ◎湍流的瞬时速度、时均速度、脉动速度； 湍流的脉动现象；时间平均 瞬时值、时均值、脉动值

  说明 (1)混合长度是最简单的湍流模型。 (2)它是有缺陷的。首先精确程度不高；其次在 某些地方，甚至是错误的。 (3)存在别的更复杂的湍流模型，分为 ◇代数模型。包括混合长模型、Baldwin-Lomax 模型； ◇一方程模型。 ◇两方程模型。这里有著名的k-ε两方程模型。 ◇代数应力模型和雷诺应力模型。 湍流模型的研究是现代流体力学核心问 题之一。

  Δ p ∗ πR 4 ⋅ ●体积流量： Q = L 8μ 这是著名的哈根-泊肃叶(Hagen-Poiseuille) 方程。它表明了管道层流流动中的体积流量与 导致流动的压差成正比，与管道半径的四次方 成正比。

  §5.2 圆管中充分发展的层流流动 充分发展的流动； 发展流动(进口流动) →圆管内充展的层流流动分析 ◎假设：管长管径，所以当作充展流(即忽略 进出口影响)，即当作一维流动； ◎假设：定常流动 ◎因为是一维流动，所以 ∂u ∂z = 0 ◎切应力沿r方向不同，压力沿z方向不同。

  §5.4 流动损失 [1]沿程损失 缓变流在流动的过程中，由于克服粘性 摩擦而造成的能量损失。这种粘性摩擦来自 流体层间、流体微团之间、流体与固体壁面 之间的粘性应力或雷诺应力。 沿程损失用沿程损失系数表示成：

  在流向上，使用动量定理。在管内围绕轴 线取一个厚度为dr、长度为dz的微元中空柱体 作为控制体。 因为两端面处的流速相等，所以进口控制 体的动量通量相等，这样动量定理成为力平 衡方程。

  ●粘性底层中，可忽略雷诺应力。因此 yτ w u= C μ 根据：y=0:u=0的边界条件，C=0。因此有

  ●过渡区中，层流粘性应力和雷诺应力均不可 忽略，因此无法求解。根据Nikurads的实验， 过渡区中的速度分布也距离线性律和对数律不 太远，因此，使用两者的扩展来掩盖过渡区。 但这时候的线性律和对数律的分界线应取为：

  后面的项就是附加应力。 雷诺应力(或称：附加应力)一般记为 τ ij ,t = − ρui′u′j 对不可压缩流 τ ij ,t = − ρ ui′u′j ★思考题：湍流流动的主要特征是什么？